中國(guó)古代數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成書于漢代的《九章算術(shù)》歷來(lái)被稱作“算經(jīng)之首”，是其中重要的一部數(shù)學(xué)著作。
正如已故中國(guó)科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生（1919-2017）所言：“《九章算術(shù)》及其劉徽注，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展在歷史上的崇高地位，足可與古希臘歐幾里得《幾何原本》東西輝映，各具特色。”
那么，《九章算術(shù)》究竟有哪些數(shù)學(xué)成就，又為何在數(shù)學(xué)史上有如此高的地位，今天一起來(lái)看看。
算籌與準(zhǔn)十進(jìn)制位值制記數(shù)法
數(shù)字的表達(dá)是人類理解世界的重要方式。成書于漢代的《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦以來(lái)的數(shù)學(xué)成就，其記載的重要一項(xiàng)數(shù)學(xué)成就是算籌的準(zhǔn)十進(jìn)制位值制記數(shù)法。
所謂十進(jìn)制（decimal system），就是從 1 開始記數(shù)，到 10 就換一個(gè)記數(shù)方式；所謂位值制（place-value system），就是同樣一個(gè)數(shù)字放在不同位置，就具有不同的數(shù)量含義。
古埃及數(shù)學(xué)采用的是十進(jìn)制記數(shù)法，但并非位值制（實(shí)是壘數(shù)制）；古巴比倫數(shù)學(xué)采用的位值制記數(shù)法，但其使用的是 60 進(jìn)制?，F(xiàn)代同行的印度-阿拉伯?dāng)?shù)字是十進(jìn)制位置值，而從文獻(xiàn)的記載來(lái)看，晚于中國(guó)算籌記數(shù)。因此，新加坡學(xué)者藍(lán)麗蓉（Lam Lay Yong）甚至提出印度-阿拉伯?dāng)?shù)字乃起源于中國(guó)算籌的說(shuō)法。
2016 年，中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所編《中國(guó)古代重要科技發(fā)明與創(chuàng)造》明確將這一成就列入其中。
算籌在中國(guó)行用長(zhǎng)達(dá)約 2000 年，是在 16 世紀(jì)被算盤取代前中國(guó)人長(zhǎng)久以來(lái)使用的數(shù)學(xué)工具，也是日本、朝鮮、越南、琉球等漢字文化圈國(guó)家長(zhǎng)久使用的數(shù)學(xué)工具。
其材質(zhì)一般用竹（也偶有象牙、骨、鉛、銀），漢代約長(zhǎng) 12 厘米。近代以來(lái)多有算籌出土，1983 年 11 月在陜西省旬陽(yáng)地區(qū)漢墓出土了 28 根象牙算籌。日本也藏有算籌。
在古語(yǔ)中“筭”與“算”不同。前者的意思是擺弄竹子，即算籌；后者是裝算籌的器物，引申為計(jì)算。因此在古書中普遍寫作“筭術(shù)”（即運(yùn)用算籌的算法），例如《九章筭術(shù)》。
陜西旬陽(yáng)出土算籌
日本東大寺所藏算籌
算籌記數(shù)分為縱橫兩式，其個(gè)、百、萬(wàn)等位上用縱式，其十、千、百萬(wàn)等位上用橫式。
算籌記數(shù)分為縱橫兩式，其個(gè)、百、萬(wàn)等位上用縱式，其十、千、百萬(wàn)等位上用橫式。如 12345，就擺放成
。由于其十位上的 1 和個(gè)位上的 1 擺放不同，故筆者稱之為“準(zhǔn)位值制”。這恰恰體現(xiàn)了算籌記數(shù)的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，由于遇 0 是作空位處理，故這一縱橫不同可以大限度凸顯空位，如
表示 203，而不可能是 23（
）。《九章算術(shù)》卷八方程涉及到正負(fù)術(shù)，以算籌的顏色和擺放亦可區(qū)分正負(fù)。
以算法為中心《九章算術(shù)》中的術(shù)
《九章算術(shù)》分成九卷，包含 246 個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。一直以來(lái)，學(xué)界有一種誤解認(rèn)為該書是一本應(yīng)用問(wèn)題集。其實(shí)，246 個(gè)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的算法（即術(shù)）僅有約 100 個(gè)，經(jīng)常出現(xiàn)多個(gè)問(wèn)題對(duì)應(yīng)一個(gè)算法的情況。因此，數(shù)學(xué)史家郭書春指出該書是采取“術(shù)文統(tǒng)率例題”的形式。
又有一種誤解認(rèn)為，該書是一本算法操作手冊(cè)，運(yùn)籌者無(wú)須理解其中的數(shù)學(xué)原理。對(duì)此，數(shù)學(xué)史家李繼閔指出算法實(shí)施的過(guò)程中蘊(yùn)含著算理（即“寓理于算”），故不懂?dāng)?shù)學(xué)原理實(shí)際無(wú)法計(jì)算。
吳文俊先生高屋建瓴地指出中國(guó)古代的算法具有構(gòu)造性和機(jī)械化的特點(diǎn)。所謂構(gòu)造性，與現(xiàn)代存在性數(shù)學(xué)相對(duì)應(yīng)，指其算法往往給出求解路徑，而機(jī)械化則就其籌算過(guò)程而言。法國(guó)學(xué)者林力娜（Karine Chemla）通過(guò)大量細(xì)致地文獻(xiàn)分析，指出該書及其劉徽注的數(shù)學(xué)問(wèn)題、圖和棊等幾何工具以及算籌的實(shí)施，實(shí)際都是展現(xiàn)算法的工具，從而有力地證明了以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)古代數(shù)學(xué)是以算法為中心的數(shù)學(xué)。
從世界數(shù)學(xué)史的角度看，除了古希臘數(shù)學(xué)以外的其他數(shù)學(xué)文明都具有算法傾向，丹麥數(shù)學(xué)史家休儒（Jens H?yrup）則進(jìn)一步認(rèn)為中國(guó)數(shù)學(xué)是所有文明中重視算法的。學(xué)界以往多認(rèn)為《九章算術(shù)》具有實(shí)用性和社會(huì)性的特點(diǎn)，其實(shí)這一特點(diǎn)其他數(shù)學(xué)文明也均具備，唯有對(duì)算法的高度重視是中國(guó)古代數(shù)學(xué)獨(dú)特的，就此而言《九章算術(shù)》可視作一本理論數(shù)學(xué)著作。
《九章算術(shù)》卷一方田給出了籌算分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則和各種田面積的計(jì)算公式，其中有圓面積公式“半周乘半徑得積步”（即 
），這一公式巧妙地回避了圓周率，故是完全準(zhǔn)確的。卷二粟米給出了各種谷物的換算，其中提出“今有術(shù)”，即已知三個(gè)數(shù)求成比率的第四個(gè)數(shù)，這一算法在西方被稱作“三率法”。
卷三衰分是講各種物品的比例分配問(wèn)題。
卷四少?gòu)V涉及到對(duì)土地的丈量和劃分，其中給出了用算籌開平方和開立方算法，這一方法在宋代發(fā)展成普遍地求任意一元高次方程數(shù)值解的算法，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的牛頓法類似。
卷五商功是工程問(wèn)題，涉及各種幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題，其中提出三種基本幾何體（即立方、塹堵和陽(yáng)馬）以作為求解任意幾何體體積的基礎(chǔ)。所謂立方，就是正立方體；所謂塹堵，就是底面為等邊直角三角形的三棱錐，兩塹堵合成一立方；所謂陽(yáng)馬，就是底面為正方形，一棱與底垂直的四棱錐，三陽(yáng)馬合成一立方。
卷六均輸是關(guān)于稅收的比例分配問(wèn)題。
卷七盈不足是通過(guò)兩次假設(shè)求解問(wèn)題的算法，該算法在西方被稱作“雙假設(shè)法”。又由于該法可以把任何問(wèn)題都理解成線性問(wèn)題，進(jìn)而求出解答，故也稱為萬(wàn)能算法。
卷八方程是求解多元一次線性方程組的完整算法，其中給出了涉及該問(wèn)題時(shí)必須用到的正負(fù)術(shù)法則。例如第一問(wèn)：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)：上、中、下禾實(shí)一秉各幾何。荅曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。
按術(shù)列出如下方程，其求解過(guò)程類似亦類似現(xiàn)代的矩陣方程解法。清末現(xiàn)代數(shù)學(xué)傳入中國(guó)以后，李善蘭借用古語(yǔ)“方程”翻譯 equation，實(shí)際是改變了方程的原意。
卷九勾股是講平面圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，其中給出了勾股定理及其各種變化形式。
給出算法正確性的論證劉徽注《九章算術(shù)》
《九章算術(shù)》文本中只給出算法，而沒有其正確性的證明，這一點(diǎn)在以往是被當(dāng)作中國(guó)數(shù)學(xué)不如以《幾何原本》為代表的古希臘數(shù)學(xué)的證據(jù)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究表明這一觀點(diǎn)是完全站不住腳的。
其一，除了古希臘數(shù)學(xué)以外的數(shù)學(xué)文明，往往都只給出算法而沒有證明。故吳文俊先生認(rèn)為數(shù)學(xué)史是算法傾向與演繹傾向兩大主題此消彼長(zhǎng)形成的。
其二，文本中有沒有證明實(shí)際是取決于文本的性質(zhì)和所產(chǎn)生的語(yǔ)境，換言之文本中沒有證明不代表數(shù)學(xué)實(shí)踐中也沒有證明。
其三，林力娜等學(xué)者認(rèn)為不應(yīng)以古希臘的數(shù)學(xué)證明作為證明的唯一形態(tài)，在其他文明中也有不同形態(tài)的證明。第二第三點(diǎn)恰巧從劉徽注中可以獲得驗(yàn)證。
魏景元四年（ 263 ），劉徽注解了《九章算術(shù)》，對(duì)大部分術(shù)文都給出其算法正確性的論證。尤其是，在卷一對(duì)圓面積公式的證明、卷四對(duì)球體積公式的注解、卷五對(duì)陽(yáng)馬體積的證明中用到極限逼近的推理方法，展現(xiàn)了極高的邏輯推理能力。在卷四求解球體積公式的過(guò)程中，劉徽發(fā)明出牟合方蓋，但卻無(wú)法求出其體積，故“以俟能言者”。這一問(wèn)題終被祖沖之父子解決。劉徽對(duì)幾何問(wèn)題的證明需用到圖（平面問(wèn)題）和棊（立體問(wèn)題），其推理原理被吳文俊總結(jié)為“出入相補(bǔ)原理”。
《九章算術(shù)》的影響與歷史地位
《九章算術(shù)》在唐宋均作為國(guó)子監(jiān)算學(xué)館的教科書。劉徽之后，唐李淳風(fēng)、北宋賈憲、劉益、蔣周、南宋秦九韶、楊輝、金李冶、元朱世杰等均沿著《九章算術(shù)》的路線發(fā)展中國(guó)古代數(shù)學(xué)，并使其在宋元時(shí)代達(dá)到一個(gè)高峰。明清時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的主流改變，但《九章算術(shù)》的整體框架并未改變。日本數(shù)學(xué)則在中國(guó)宋元數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展出和算，在 19 世紀(jì)時(shí)可以處理面積求和等微積分初等問(wèn)題。
自李儼（1892-1963）、錢寶琮（1892-1974）先生開創(chuàng)中國(guó)數(shù)學(xué)史研究以來(lái)，《九章算術(shù)》及其后世的注解就作為中國(guó)數(shù)學(xué)成就的標(biāo)志性著作，但他們主要關(guān)注其中與現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以相通之處。其實(shí)，《九章算術(shù)》中那些獨(dú)特算法同樣是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就。兩者共同說(shuō)明了中國(guó)數(shù)學(xué)歷史道路的獨(dú)特性和其歷史經(jīng)驗(yàn)的有效性。
吳文俊先生把中國(guó)古代數(shù)學(xué)的算法理解成計(jì)算機(jī)的軟件、把算籌、算盤等工具理解成計(jì)算機(jī)的硬件，從而創(chuàng)造性地提出數(shù)學(xué)機(jī)械化的構(gòu)想，這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)“古為今用”的典范案例。
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本片為科普中國(guó)·創(chuàng)作培育計(jì)劃扶持作品
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監(jiān)制丨中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司
作者丨朱一文 科學(xué)技術(shù)史博士，中山大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師，邏輯與認(rèn)知研究所專職研究員
策劃丨林林
責(zé)編丨林林 鐘艷平
審校丨徐來(lái)
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